Question

Demonstrati ca ecuatie x²+y²=7(z²+t²) nu are solutii in multimea numerelor naturale nenule.

Answer 1

Sa presupunem prin absurd ca ecuatia are solutii.
Fie (x,y,z,t) acea solutie pentru care x²+y² este minim.
Din x²+y²=7(z²+t²)⇒7|(x²+y²)⇒7|x si 7|y⇒x=7x₁ si y=7y₁
49x₁²+49y₁²=7(z²+t²)⇒7(x₁²+y₁²)=z²+t²⇒7|z si 7|t
Deci z=7z₁ si t=7t₁ 
7(x₁²+y₁²)=7²(z₁²+t₁²)⇒x₁²+y₁²=7(z₁²+t₁²) ⇒ (x₁,y₁,z₁,t₁) este solutie a ecuatiei initiale .
Dar x₁²+y₁²=(x²+y²)/49<x²+y²
Deci am gasit o solutie care intra in contradictie cu minimalitatea lui x²+y², ceea ce este imposibil.