Question

Demonstrati ca fractia ordinara $\frac{1}{n*(n+1)*(n+2)}$ se trasforma in fractie zecimala periodica mixta pentru oricare ar fi N.

VA ROG!!!!
COROANA!!!!!!!!!!
,, * ,,-inmultit!

Answer 1

E destul de usor de demonstrat ca numitorul are divizorii 2 si 3
1) n(n+1) este mereu divizibil cu 2.
Daca n=2k, atunci avem 2k(2k+1) divizibil cu 2
Daca n=2k+1 atunci avem (2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1) iar divizibil cu 2
2) n(n+1)(n+2) divizibil cu 3
daca n=3k avem 3k(3k+1)(3k+2) divizibil cu 3
daca n=3k+1 avem (3k+1)(3k+2)(3k+3)=3(3k+1)(3k+2)(k+1)
daca n=3k+2 avem(3k+2)(3k+3)(3k+4)=3(3k+2)(k+1)(3k+4) iar divizibil cu 3

din 1 si 2 rezulta ca n(n+1)(n+2) are divizorii 2 si 3.

Fractiile zecimale pot fi de 3 feluri
1) finita
2) periodica simpla
3) periodica mixta

Sa vedem ce fel de ecuatii pot fi in cele 3 cazuri:
1) finita. unde numar real x este de forma 0,x1x2x3..xn unde x1x2x3..xn sunt cifre de la 0-9 si sunt cu bara deasupra(sunt zecimale una langa alta)
Aceste forme pot sa fie exprimate sub forma
$x=\frac{</span>x1x2x3..xn}{10^{n}}=\frac{A}{10^{n}}$ deci vedem ca o zecimala finitrepzorii 2 si 5. Cum fractia noastra are si divizorul 3, inseamna ca nu poate fi finita.
am facut notatia A=x1x2x3...xn ca sa-mi fie mai usor sa o scriu in ecuatiile urmatoare
2) periodica simpla de forma x=0.(x1x2x3...xn) sau x=0.x1x2x3...xnx1x2x3..xnx1x2..xn... si asa mai departe.
Inmultim pe x cu 10^n
$10^{n}*x=<span>10^{n}*(0,x1x2x3..xnx1x2...xnx1x2..xn..)=x1x2...xn,x1x2..xnx1x2...xn=x1x2..xn+0,x1x2x3..xnx1x2...xn=A+0.(x1x2..xn)=A+x\Rightarrow (10^{n}-1)x=A\Rightarrow x=\frac{A}{10^{n}-1}</span>$
Deci o fractie zecimala periodica simpla are orice divizori la numitor in afara de 2 si 5, dupa cum se vede din forma de jos. Dar fractia noastra are divizorul 2, deci fractia nu poate reprezenta o zecimala periodica siimpla

Rezulta ca fractia ordinara pe care o avem poate reprezenta doar o fractie zecimala periodica mixta.