Question

Demonstrati ca functia f:[0;+∞)→[0;+∞) , f(x)=x² este inversabila si inversa ei este g:[0;+∞)→[0;+∞) , g(x)=√x.Reprezentati grafic cele doua functii in acelasi sistem de axe.Stabiliti daca functiile sunt concave sau convexe.Aflati punctele de intersectie ale graficelor lor.


a=1>0=>f-strict crescatoare pe [0;+∞)=> f este injectiva (1)
x∈[0;+∞)=>x≥0|*x=>x²≥0=>Im f=[0;+∞)=[0;+∞)=>f este surjectiva (2)
Din (1) si (2)=> f este bijectiva=>f este inversabila =>∃f⁻¹:[0;+∞)→[0;+∞) 
 iar de aici ce fac?

Answer 1

Salut,

Te felicit pentru rezolvarea parțială, este corectă. O mică remarcă:

Im f=[0;+∞)=[0;+∞), aș adăuga că imaginea funcției este egală cu codomeniul, deci funcția este surjectivă.

În continuare, ai așa: f(x) = x², sau y = x², îl afli pe x funcție de y:

x = √y, deci inversa funcției f(x) este g(y) = √y. Notația este arbitrară, deci putem scrie g(x) = √x, unde g:[0;+∞)→[0;+∞).

Am atașat graficele celor 2 funcții. Funcția f(x) este convexă (ține apa), iar funcția g(x) este concavă (nu ține apa).

Punctele de intersecție se află rezolvând ecuația x² = √x, cu x ≥ 0.

Ridicăm la pătrat: x⁴ = x, sau x⁴ -- x = 0, sau x(x³ -- 1) = 0, sau

x(x -- 1)(x² + x + 1) = 0, deci:

x₁ = 0, primul punct de intesecție este P₁(0,0), se vede și pe grafic;

x₂ = 1, al doilea punct de intesecție este P₂(1,1), se vede și pe grafic;

x₃ și x₄ nu sunt valori reale pentru că în cazul lui x² + x + 1 = 0, avem că Δ < 0.

Green eyes.