Question

Demonstrați că funcția f :R->R, f(x)=(a^2 +1)x+ (2a+1) este strict crescătoare, oricare ar fi a aparține R.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Daca functia este strict crescatoare,f(x + 1) - f(x) > 0

f(x + 1) = (a^2 + 1)(x + 1) + 2a + 1 = xa^2 + a^2 + x + 1 + 2a + 1

= x(a^2 + 1) + a^2 + 2a + 2

f(x + 1) - f(x) = x(a^2 + 1) + a^2 + 2a + 2 - (a^2 +1)x - (2a+1)

= a^2 + 2a + 2 - 2a - 1 = a^2 + 1 > 0 oricare ar fi a aparține R

Answer 2

$\it f(x_2)>f(x_1) \Leftrightarrow (a^2+1)x_2+(2a+1)>(a^2+1)x_1+(2a+1)|_{-(2a+1)} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow (a^2+1)x_2>(a^2+1)x_1|_{:(a^2+1)} \Leftrightarrow x_2>x_1,\ \ deci\ \ f\ \ este\ strict\ cresc\breve atoare$

La final, împărțirea are sens pentru că  a² + 1 ≠ 0, pentru oricare a -  real