Question

Demonstrati ca inecuatia este adevarata pentru orice x apartinad de la (0 la +infinit)

Answer 1

Il muti si pe logaritm in stanga si inegalitatea devine:
3x²-x-2-ln(x^5)≥0
Consideram functia f:(0, ∞)->R, f(x)=3x²-x-2-ln(x^5).
Calculam derivata f'(x)=6x-1-$\frac{5x^4}{x^5}$=6x-1-$\frac{5}{x}$
Calculam radacinile ecuatiei f'(x)=0
6x-1-$\frac{5}{x}$=0
6x²-x-5=0
Δ=1+120=121, √Δ=11
x1=(1+11)/12=12/12=1
x2=(1-11)/12=-10/12
Stim ca intre radacini derivata va avea semn negativ, dar functia este definita doar pe (0, ∞), ceea ce inseamna ca pentru x ∈ (0, 1) derivata este negativa, iar pentru x ∈ (1, ∞) derivata este pozitiva.
Deci f este descrescatoare pe (0, 1) si crescatoare pe (1, ∞). Asta inseamna ca x=1 este punct de minim. Adica f(x)≥f(1) ∀x∈(0, ∞).
Calculam f(1)=3-1-2-ln1=0, deci f(x)≥0 ∀x∈(0, ∞).