Question

Demonstrați ca intr-un triunghi cu lungimile laturilor a,b,c are loc relatia 4a la puterea a 2 +3b la puterea a 2+5c la puterea a 2 -2ab-4bc-6ac=0,atunci triunghiul este echilateral.

Answer 1

[tex]4a^2+3b^2+5c^2-2ab-4bc-6ac=0\\ (a^2-2ab+b^2)+3(a^2-2ac+c^2)+2(c^2-2bc+b^2)=0\\ (a-b)^2+3(a-c)^2+2(c-b)^2=0\\ Deoarece: (a-b)^2\geq 0 ,\ (a-c)^2\geq 0\ si\ (c-b)^2\geq 0 \ inseamna\ ca\\ toate\ sunt\ concomitent\ 0.\\ \{ a-b=0\\ \{ a-c=0\Leftrightarrow a=b=c \\ \{ c-b=0\\ \text{Deci triunghiul este echilateral.}[/tex]