Question

Demonstrati
ca lg2 €R\Q

Answer 1

Presupui  ca acesta e  numar  rational.Atunci exista  2  numere  intregi,  prime  intre  ele  ,  m si  n  a.i.  lg2=m/n => 2=10^m/n=>
2=10^m/n =.>
2=(2·5)^m/n=. >2=2^m/n ·5^m/n  Impari  egalitatea  prin  2
1=2^(m/n-1)·5^m/n
Produsul  a  2  numere  intregi  este  1  daca  fiecare  din  ele  este  1
Deci
{2^(m/n-1)=1  si
{5^m/n=1 =. > ca  exponenti  celor  2  numere  sunt  nuli
{m/n-1=0=.> m/n=1  m=n≠0
{m/n=0  =>m=0
evident sistemul nu  admite  solutii  intregi.Atunci  presupunerea    facuta  e  falsa Dec i
lg2  =numar  irational