Question

Demonstrati ca mijloacele laturilor unui dreptunghi formeaza un romb.

Answer 1

Notam dreptunghiul cu ABCD si M=mijlocul lui AB, N=mijlocul lui BC, P=mijlocul lui DC, Q=mijlocul lui AD. Am atasat si un desen cu figura ca sa vezi mai bine cum am notat. Pentru inceput,sa recapitulam proprietatile oricarui dreptunghi ABCD:
AB||CD si AB≡CD
AD||BC si AD≡BC
AC si BD diagonale si AC≡BD si se vor taia reciproc in segmente congruente 2 cate 2.

Incepem cu triunghiul ADC,unde Q=mijlocul lui AD si P=mijlocul lui CD. Segmentul determinat de cele 2 mijloace(adica QP,care este si latura a rombului cautat) se numeste linie mijlocie si are 2 proprietati : (1) este paralela cu AC
                                                             (2) este jumatate din AC
Deci:
 QP||AC si QP=AC:2

Pe acelasi principiu aflam ca MN este linie mijlocie in triunghiul BAC,deci:
MN||AC si MN=AC:2

Daca QP||AC si MN||AC ⇒ QP||MN
Daca QP=AC:2 si MN=AC:2⇒ QP≡MN

Acum ne uitam la triunghiul ADB,unde QM este linie mijlocie,deci:
QM||BD si QM=BD:2
BD≡AC⇒ QM=AC:2

In triunghiul BCD, PN este linie mijlocie,deci:
PN || BD si PN=BD:2
BD≡AC⇒ PN=AC:2

Daca QM || BD si PN|| BD⇒ QM || PN 

Aducand la un loc toate relatiile importante,obtinem:
QP || MN si QP=MN=AC:2
QM || PN si QM=PN=AC:2
Rezulta ca QP=MN=PN=QM,deci avem un patrulater cu toate laturile congruente si paralele 2 cate 2. Acest patrulater(in cazul de fata, QMNP) este sigur paralelogram. Mai trebuie sa demonstram ca diagonalele sale sunt perpendiculare(adica MP perpendicular pe QN) si patrulaterul devine romb.
 AD || BC || MP
AD perpendicular pe DC pt ca ABCD este dreptunghi si are unghiuri de 90 de grade
QN || DC, deci AD este perpendicular si pe QN
MP || AD,deci MP este perpendiculara pe aceleasi chestii(pe DC si QN)
Obtinem MP perpendicular pe QN,deci acum QMNP are toate proprietatile necesare ca sa poata fi numit romb. 
Sper ca ti-am fost de ajutor! O zi buna!