Question

Demonstrati ca nr a=2 la puterea 2013 + 3 la puterea 2013 este divizibil cu 5.  Va multumesc.

Answer 1

a=2²⁰¹³ +3²⁰¹³

2²⁰¹³

2¹=(......2)
2²=(......4)
2³=(......8)
2⁴=(......6)
2⁵=(......2)

se repeta din 4 in 4

2013:4=503 rest 1 =>  2²⁰¹³ =(.....2)

3²⁰¹³

3¹=(.....3)
3²=(.....9)
3³=(.....7)
3⁴=(.....1)
3⁵=(.....3)

se repeta din 4 in 4

2013:4=503 rest 1 => 3²⁰¹³ =(.....3)

a=(....2)+(....3)=(......5)  : 5   (trebuiau 3 puncte)

Answer 2

Calculam ultima cifra a expresiei.

2 la puterea 2013 + 3 la puterea 2013

$U=ultima.cifra \\ U( 2^{2013} + 3^{2013}) = U(2* 2^{2012}+3* 3^{2012})= \\ U(2* 2^{4*503}+3* 3^{4*503})=U(2* (2^{4})^{503}+3* (3^{4})^{503})= \\=U(2* 16^{503}+3* 81^{503})=U(2*6+3*1)=U(12+3)=U(15)=5$

Ultima cifra = 5
=> a este divizibil cu 5