Question

Demonstrati ca nr nat.a=14+2 la put 2016este multiplu al nr 15

Answer 1

a=14+2=15+1. Stim formula (a+b)^n=Ma+b^n. Înlocuim si obtinem a^2016=(15+1)^2016=M15+1.Deducem ca a^2016 nu este multiplu al lui 15.

Answer 2

 pe $2^{2016 }$ il putem scrie ca o suma Gauss de puteri ale lui 2
S=$2^{0} + 2^{1} + 2^{2} +.......+ 2^{2015} =1+2+ 2^{2} +....+ 2^{2015}$ inmultim acesta suma cu 2 si va deveni
2S=$2+ 2^{2} + 2^{3} +.........+ 2^{2016}$
efectuam scaderea 2S -S
2S=$2+ 2^{2} + 2^{3} +.....+ 2^{2015} ....+ 2^{2016}$ -
  S=$-1-2- 2^{2} -...- 2^{2015}$ 
 ___________________________________________________
S=$2^{2016} -1$
de unde $2^{2016}$ =S+1
inlocuim aceasta expresie in numarul a
a=14 +S+1 =15+S = 15+1+2+$2^{2} + 2^{3} + 2^{4} +..........+ 2^{2015}$
grupand termenii sumei cate 4  si dand factor comun vom avea 
a=15 +(1+2+4+8)+$2^{4}$(1+2+$2^{2} + 2^{3}$)+......+$2^{2012} *(1+2+ 2^{2} + 2^{3})$
dam factor comun 15 si vom avea 
a=15*(1+1+$2^{4} +......+ 2^{2012}$) de unde rezulta ca 
a este divizibil cu 15 adica multiplu de 15