Question

Demonstrati ca nr .$\sqrt2 ^n }+2 ^n ^+ ^{1}$,n∈N,este irational(totul este sub radical)

Answer 1

√2^n=2^n/2

2^(n/2) +2^(n+1)=2^n[2^(1/2)+2)]=2^n*(√2+2)

Daca n este par =>√2^n *(√2+2)= 2^(n/2) √(√2+2)
                  impar=>2^n *(√2+2)= 2^[(n-1/2] √(√2+2)
In ambele cazuri avem √(√2+2)=√(3.4142) => este un nr. rational.

Answer 2

$\sqrt{ 2^{n}+2 ^{n+1} } = \sqrt{ 2^{n}*(2+1)}= \sqrt{ 2^{n}*3 } .$ Cum $2^{n}$ și $3$ sunt prime între ele => Numărul de sub radical nu este pătrat perfect ⇒∈ℝ\ℚ.