Question

demonstrati ca nu exista n , numar natural pentru care 
  
  ( 2 la puterea n)+( 3 la puterea n+1) + (9 la puterea n+2)=20142014

Answer 1

$2^{n} + 3^{n+1} + 9^{n+2} =20142014$

ultima cifra a puterilor lui 2, sunt seturi de 4: 2,4,8,6
pentru ca :
2¹=2
2²=4
2³=8
2⁴=16

ultima cifra a puterilor lui 3, sunt seturi de 4: 3,9,7,1
ultima cifra a puterilor lui 9, in sunt seturi de 4 sunt: 9,1,9,1
Dar, suntem atenti cand facem suma ultimelor cifre , pt ca puterile lui 2,3 si 9 sunt n, n+1 si n+2, adica daca n=2, puterea lui 3 este 2+1=3, puterea lui 9 este n+2=4, samd
Asadar avem ultimele cifre 


-daca n=4k+1, ultima cifra a lui 2 este 2, ultima cifra a lui 3 este 9 (pt ca puterea e 4k+2), iar ultima cifra a lui 9 este 9 (pt ca avem puterea 4k+3)
-daca n=4k+2, ultima cifra a lui 2 este 4, ultima cifra a lui 3 este 7 (pt ca puterea e 4k+3), iar ultima cifra a lui 9 este 1 (pt ca avem puterea 4k+4)
-daca n=4k+3, ultima cifra a lui 2 este 8, ultima cifra a lui 3 este 1 (pt ca puterea e 4k+4, iar ultima cifra a lui 9 este 9 (pt ca avem puterea 4k+5)
daca n=4k+4, ultima cifra a lui 6 este 2, ultima cifra a lui 3 este 3 (pt ca puterea e 4k+5), iar ultima cifra a lui 9 este 9 (pt ca avem puterea 4k+6)

punem totul intr-un tabel si calculam ultima cifra a sumei:

   n  |  2  |  3  |  9  |
  1   |  2  |  9  |  9  |  UC=7
  2   |  4  |  7  |  1  |  UC=2
  3   |  8  |  1  |  9  |  UC=8
  4   |  6  |  3  |  1  |  UC=0

Verificare :daca k=0=>n=2, avem:
2²+3²⁺¹+9²⁺²=2²+3³+9⁴=4+27+6561=6592 (UC=2)

Drept urmare , orice valoare ar avea n, ultima cifra a sumei nu este 4.

Answer 2

A = 2^n + 3^(n+1) + 9^(n+2)
ptr. n= 4k ⇒ Uc(2^n) = 6 ;  Uc[3^(n+1)] = 3 ; Uc[9^(n+2)] = 1;  Uc(A) = 0
ptr n = 4k-1  Uc(2^n) =2 ;  Uc[3^(n+1)] = 9 ;  Uc[9^(n+2)] =9    Uc(A) =0
ptr. n=4k-2  Uc(2^n) = 4;  Uc[3^(n+1)] = 7;    Uc[9^(n+2)] = 1    Uc(A) = 2
ptr. n= 4k-3 Uc(2^n) =8    Uc[3^(n+1)] = 1    Uc[9^(n+2)] = 9    Uc(A) =8
ptr n=0        Uc(26n) = 1    Uc[3^(n+1) = 3    Uc[9^(n+2)] =1    Uc(A) = 5
⇒ Uc(A) ≠ Uc(20142014) ⇒ nu există nici un  n  care să îndeplinească conditiile problemei