Question

Demonstrati ca nu exista numere de forma abc in baza 10, care sa verifice relatia:
ab in baza 10 la puterea 2 - bc in baza 10 la puterea 2= abc in baza 10

Answer 1

ab²-bc²=abc=>ab²=abc+bc²=>ab²=100a+bc+bc²=>

ab²=100a+bc(bc+1)

bc si bc+1 sun doua numere consecutive. Produsul a doua numere consecutive se termina in una din cifrele:0,2,6.

100a se termina in 0.

In concluzie, 100a+bc(bc+1) se termina in 0,2 sau 6=>ab² se termina in 0,2 sau6 .Analizam fiecare situatie;

1)ab² se termina in 0=>b=0(Fals deoarece cifra b nu poate fi 0)

2)ab² se termina in 2 (Fals deoarece orice numarul natural lapatrat se termina doar in 0,1,4,9,6,5 si nu in 2).

3)ab² se termina in 6=> b=4 sau b=6.Analizam ambele cazuri:

a)b=4=>a4²=100a+4c(4c+1)=>c este 2 sau 7

Daca c=2=>a4²=100a+42*43

(10a+4)²=100a+42*43

100a²-20a=1790|:10

10a²-2a=179(Fals deoarece membrul din stanga este par si cel din dreapta e impar)

Daca c=7=>a4²=100a+47*48

100a²-20a=2240|:10

10a²-2a-224=0

5a²-a-112=0

√delta=√4481∉N

b)b=6=>a6²=100a+6c(6c+1)=>c este 2 sau 7

Daca c=2=>a6²=100a+62*63

(10a+6)²=100a+62*63

100a²+20a=3870|:10

10a²+2a=387(Fals deoarece membrul din stanga este par si cel din dreapta e impar)

Daca c=7=>a6²=100a+67*68

100a²+20a=4520|:10

10a²-2a-452=0

5a²-a-226=0

√delta=√4521∉N

In concluzie, nu exista numere de forma abc , care sa verifice relatia : 

ab² - bc² = abc.