Question

Demonstrați că nu există numere naturale a, b, astfel încât:
a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+a^6+b^6=2009​

Answer 1

$a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+a^6+b^6=2009\\ \\ a+a^2+b+b^2+a^3+a^6+b^3+b^6 = 2009\\ \\\underset{par}{\underbrace{a(1+a)}}+\underset{par}{\underbrace{b(1+b)}}+\underset{par}{\underbrace{a^3(1+a^3)}}+\underset{par}{\underbrace{b^3(1+b^3)}} = \underset{impar}{\underbrace{2009}}\quad (F)$

Pentru a(1+a) și b(1+b):

- Un număr înmulțit cu succesorul lui e mereu par,

deoarece succesorul își schimbă paritatea iar produsul a 2 numere de paritate diferită este par.

Pentru a³(1+a³) și b³(1+b³):

- Ridicarea la putere nu schimbă paritatea numărului, fiindcă produsul a 'n' numere de aceeași paritate nu își schimbă paritatea.

- Succesorul unui număr își schimbă paritatea, deci produsul a 2 numere de paritate diferită va fi par.