Question

Demonstrati ca nu exista numere naturale x , astfel incat :
7x²+7x+5y=2013

Answer 1

$\rm 7x^2+7x+5y=2013 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 7x(x+1)=2013-5y. \\ \\ x(x+1)~este~par,~deci~7x(x+1)~este~par,~adica~2013-5y~este~par. \\ \\ 2013-5y=par \Rightarrow 5y=impar \Rightarrow y=impar. \Rightarrow 2013-5y~are~ultima \\ cifra~egala~cu~8 \Rightarrow 7x(x+1)~are~ultima~cifra~egala~cu~8. \\ \\ Produsul~a ~doua~numere~naturale~consecutive~are~ultima~cifra~0,2~sau~ \\ 6. \\ \\ Deci~ultima~cifra~a~lui~7x(x+1)~ar~fi~0,4~sau~2,~insa~7x(x+1)~avea \\ ultima~cifra~egala~cu~8,~contradictie!$

$\rm Prin~ urmare, ~nu~exista ~x \in N ~astfel ~incat~7x^2+7x+5y=2013.$