Question

demonstrati ca nu există o progresie aritmetică astfel încât numerele √2 ;√3 ; √5 sa fie termeni ai acestei progresii

Answer 1

Presupunem  ca  exista  o  progresie  an  in  care  numerele  de mai  sus  sa  fie  termenii  progresiei.
Putem  considera  fara  a  restrange  generalitatea  ca  a1=√2
ak=a1+(k-1)·r=√3
..................
am=  am+(m-1)·r=√5
k, ;,  n  numere  naurale  k<m;<n
Formwezi  sistemul
{a1=√2
{ak=a1+(k-1)·r =√3 =>√2+(k-1)·r=√3  => r=(√3-√2)/(k-1) =>
am=√2+(m-1)·(√3-√2)/.(k-1)=√5=>√2(k-1)+(m-1)*(√3-√2)=√5(k-1) =>
(m-1)*(√3-√2)=√5·(k-1) =.>
m-1=√5(k-1)/(√3-√2)    amplifici  fractia  cu  conjugata  numitorului  √3+√2  si  obtii
m-1=√5(√3+√2)(k-1)/(3-2)=>
m=(√15+√10)·(k-1)+1
Primul  termen  al sumei  este  un  numar  rational  deci tot membrul  drept  este  un  nr  irational.Am  ajuns  la  egalitatea
m=nr  irational.  Fals  ,  deoarece  m  a  fost  considerat  numar  natural.Deci  cele  3  numere  nu  pot  fi  termenii    unei  progresii  aritmetice