Question

Demonstrati ca numarul 13^m + 7^n - 2 se divide cu 6

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

13ⁿ+7ⁿ-2 = nr par

deoarece

13ⁿ= impar

7ⁿ= impar

2- nr par

13ⁿ+7ⁿ-2= nr par

-

adaugam 3 divizibil cu 3

si aratam

13ⁿ+7ⁿ-2 l +3⇔ 13ⁿ+7ⁿ+1

facand adaugirile vom verifica pentru (n) =0

avem

13⁰=1

7⁰=1

-2+3=1

1+1+1=3   ( divizibil cu 3)

-

verificam pentru (n) =1

avem

13¹=13

7¹=7

-2+1=1

13+7+1=21 ( divizibil cu 3 )

-

putem sa presupunem adevarat pt (n) = (n)

atunci

13ⁿ+7ⁿ+1= divizibil cu 3

verificam pentru (n) →n+1

avem

13ⁿ(n+1) +7ⁿ(n+1)+1 =

13*13ⁿ+7ⁿ*7ⁿ+1=

7*( 13ⁿ+7ⁿ+1) + 6*13ⁿ-6=

7*( 13ⁿ+7ⁿ+1)+3* 2 (13ⁿ-1)

am obtinut ca cei 2 terneni sunt divizibili cu 3

                                     ↓

ca tot nr este divizibil cu 3

Pn→Pn+1

am demonstrat prin inductie matematica ca propozitia este adevarata pentru

∨n ∈N