Question

Demonstrați că numărul A=2^1+2^2+2^3+⋯+2^2017 nu este pătrat perfect.

Answer 1

Termenii  sumei  sunt  in  progresie  geometrica de  ratie q=2,Scrii  formula  sumei   unei  progresii  geometrice
Sn=(a1*(q^n-1)/(q-1)  unde  a1=2 , n=2017
A =S2017=2*(2^2017-1)/(2-1)=2*(2^2017-1)=2*[2^(2016+1)-1]=2*[2^(4*504+1)-1]
Acest  numar   nu  poate  fi    pp   pt  ca:
Ultima  cifra  a   numarului 2^(4*504) este 6 =>
U(2^(4*504+1)=2=>
Ultima  cifra  U[2^(2017)-1]=1=>
U[2*(2^(2017-1)]=2
Ultima  cifra   a  unui   pp   poate  fi{0,1,4,5,6,9}Cum  2 nu  apartine  acestei  multimi  deduci  ca  A nu  este  pp