Question

Demonstrati ca numarul a=2²⁰¹³+3²⁰¹³ este divizibil cu 5​

Answer 1

Răspuns:

Ultima cifră a numărului a este 5 ⇒ a este divizibil cu 5

Explicație pas cu pas:

Problema se rezolvă cu ajutorul ultimei cifre a lui a.

Analizăm ultima cifră a lui 2ⁿ

u.c. 2¹ = 2

u.c. 2² = 4

u.c. 2³ = 8

u.c. 2⁴ = 6

u.c. 2⁵ = 2

.....................

Observăm că ultima cifră se repetă din paru în patru; așadar, regula de formare a ultimei cifre pentru 2ⁿ este următoarea:

$u.c. 2^{4k+1} = 2$  unde k este orice număr natural

$u.c. 2^{4k+2} = 4$

$u.c. 2^{4k+3} = 8$

$u.c. 2^{4k} = 6$

2013 are forma 4k + 1, unde k = 503

u.c. 2²⁰¹³ = 2    (1)

Analizăm ultima cifră a lui 3ⁿ

u.c. 3¹ = 3

u.c. 3² = 9

u.c. 3³ = 7

u.c. 3⁴ = 1

u.c. 3⁵ = 3

.....................

Observăm că ultima cifră se repetă din paru în patru; așadar, regula de formare a ultimei cifre pentru 3ⁿ este următoarea:

$u.c. 3^{4k+1} = 3$  unde k este orice număr natural

$u.c. 3^{4k+2} = 9$

$u.c. 3^{4k+3} = 7$

$u.c. 3^{4k} = 1$

2013 are forma 4k + 1

u.c. 3²⁰¹³ = 3   (2)

Din (1) și (2) ⇒ u.c. (2²⁰¹³ + 3²⁰¹3) = u.c. 2²⁰¹³ + u.c. 3²⁰¹³ = 2 + 3 = 5

Așadar, ultima cifră a numărului a este 5 ⇒ a este divizibil cu 5

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: