Question

Demonstrati ca numarul M = radical din {1 × 2× 3×4×... × 2016+2017} este numar irational.

Answer 1

Salut,

Pentru ca numărul M să fie rațional, trebuie ca numărul de sub radical să fie pătrat perfect.

Dacă un număr este pătrat perfect, atunci ultima lui cifră poate fi 0, sau 1, sau 4, sau 5, sau 6, sau 9.

Asta înseamnă că dacă ultima cifră este 2, sau 3, sau 7, sau 8, atunci numărul NU poate fi pătrat perfect.

Numărul de sub radical 1 × 2× 3 × 4×... × 2016+2017.

Ultima cifră a lui 1 × 2× 3 × 4×... × 2016 este evident 0 (dacă ar fi să descompui fiecare termen al produsului în factori primi, vei avea cu siguranță cel puțin o apariție a factorului prim 2 și cel puțin una a factorului prim 5, deci ultima cifră este clar 0).

Asta înseamnă că ultima cifră a numărului de sub radical este 0 + ultima cifră a lui 2017, adică 0 + 7 = 7.

Păi dacă este 7, atunci e clar că numărul de sub radical nu este pătrat perfect, deci M este număr irațional.

Simplu, nu ?

Green eyes.