Question

Demonstrați că numărul natural a b c barat scris în baza 10 se divide cu 9 dacă a + b + c se divide cu 9. Dau 30 puncte​

Answer 1

Pentru a demonstra ca numarul natural a b c barat scris in baza 10 se divide cu 9 daca a + b + c se divide cu 9, putem folosi proprietatea divizibilitatii cu 9. Aceasta proprietate spune ca un numar se divide cu 9 daca si numai daca suma cifrelor sale se divide cu 9.

Deci, daca a + b + c se divide cu 9, inseamna ca suma cifrelor numarului a b c barat se divide cu 9. Acest lucru inseamna ca numarul a b c barat se divide cu 9.

Demonstratia poate fi formulata astfel:

Daca a + b + c este divizibil cu 9, atunci a + b + c = 9k, pentru un anumit numar natural k.

Deci, a b c barat = 100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c) = 9(11a + b) + 9k.

Numarul 9k este divizibil cu 9, astfel ca numarul a b c barat este divizibil cu 9.

Concluzie: Daca a + b + c este divizibil cu 9, atunci a b c barat este divizibil cu 9.

Spor!

Answer 2

$\it \overline{abc}=100a+10b+c=99a+a+9b+b+c=(99a+9b)+(a+b+c)=\\ \\ =9(11a+b)+(a+b+c)\ \ \ \ \ (1)\\ \\ 9(11a+b) \ \vdots\ 9\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \overline{abc}\ \vdots\ 9\ \stackrel{(1),(2)}{\Longrightarrow}\ \ (a+b+c)\ \vdots\ 9$