Question

Demonstrati ca o dreapta este perpendiculara pe un plan daca si numai daca ea este perpendiculara pe 2 drepte concurente din acel plan

Answer 1

Aceasta teorema este alcatuita din doua teoreme : Teorema Directa (notata TD) si Teorema Reciproca (notata TR).   
TD: Daca o dreapta (a) este perpendiculara pe doua drepte (d₁ si d₂) concurente , atunci ea este perpendiculara pe planul determinat de cele doua drepte concurente (notat α).  
Demonstratie : Fie A un punct exterior unui plan α si doua drepte (d₁ si d₂) concurente continute in α .Construim prin A  un plan β care sa aiba toate dreptele continute in el , perpendiculare pe d₁.   
 Construim prin A  un plan γ care sa aiba toate dreptele continute in el , perpendiculare pe d₂ . Deoarece planele β si γ au un punct comun A   atunci ele au o dreapta comuna notata a care este perpendiculara si pe d₁ si pe d₂ . Deoarece d₁ si d₂ sunt concurente ⇒ dreapta a este perpendiculara pe orice dreapta a planului α (determinat de cele doua drepte concurente) , deci dreapta a este perpendiculara pe planul α .  
Din demonstratie si din constructiile de mai sus se obtine si   
TR : Daca o dreapta (a) este perpendiculara pe un plan (α) atunci aceasta   dreapta (a) este perpendiculara pe orice dreapta din plan (deci si pe cele doua drepte concurente d₁ si d₂ din plan).