Question

Demonstrati ca oricare ar fi 7 numere naturale exista doua a caror diferenta este divizibila cu 6.

Answer 1

Fie numerele naturale x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 .
Aceste numere impartite la 6 dau unul din resturile 0,1,2,3,4,5.
Avem doua situatii posibile.
1)Daca numerele x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 impartite la 6 dau acelasi rest r atunci
x1:6=c1 rest r=>x1=6c2+r
x2:6=c2 rest r=>x1=6c2+r
x1-x2=6c1-6c2=6(c1-c2)=>diferenta este divizibila cu 6
2) Daca numerele x1,x2,x3,x4,x5,x6 impartite la 6 dau resturile 0,1,2,3,4,5 atunci x7 impartit la 6 va avea restul cu una din valorile 0,1,2,3,4,5. In felul acesta x7 si unul din numerele x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 vor avea acelasi rest la impartirea la 6=> folosind cazul de mai sus deducem ca aceasta diferenta este divizibila cu 6.

Answer 2

Un numar natural impartit la 6 poate da resturile 0,1,2,3,4,5 si 6.
Conform principiului cutiei, daca alegem 7 numere naturale, vor exista cel putin 2 care dau acelasi rest la impartirea cu 6. (Pentru ca sunt 6 resturi si se aleg 7 numere). Diferenta lor va fi divizibila cu 6.

Altfel spus; daca numerele sunt 6a+r si, respectiv 6b+r (unde a,b∈N, a≥b si r∈{0,1,2,3,4,5,6}), diferenta lor va fi (6a+r)-(6b+r)=6a-6b=6(a-b) - care este divizibil cu 6.