Question

Demonstrati ca oricare ar fi m,n€|N*
{m/n}+{n/m}≠1
(Cu {x} am notat partea fractionara a lui x)

Answer 1

m, n ∈ N*
De demonstrat:
$\{\frac{m}{n}\}+\{\frac{n}{m}\}\neq1$

Vom incerca sa demonstram contrariul, presupunand ca exista doua numere m,n ∈ N* astfel incat expresia sa fie egala cu 1:
$\{\frac{m}{n}\}+\{\frac{n}{m}\}=1$

Avem urmatoarea proprietate:
$x = [x]+\{x\}\rightarrow \{x\}=x-[x]$

Inlocuim:
[tex]\frac{m}{n}-[\frac{m}{n}]+\frac{n}{m}-[\frac{n}{m}]=1\\\\ \frac{m^2+n^2}{mn}-[\frac{m}{n}]-[\frac{n}{m}]=1[/tex]

Vom face urmatoarea notatie, pentru a ne fi mai usor:

[tex]a=[\frac{m}{n}]+[\frac{n}{m}]\\\\ \left \begin{array}{ll} \big[\frac{m}{n}\big] \in N\\\\ \big[\frac{n}{m}\big] \in N \end{array}\right\}\rightarrow a\in N [/tex]

[tex]\frac{m^2+n^2}{mn}-a=1\\\\ \left \begin{array}{ll} a \in N\\ 1 \in N \end{array}\right\}\rightarrow \frac{m^2+n^2}{mn}\in N[/tex]

Fie d = (m, n)  ==> k, p ∈ Z astfel incat m = d * k si n = d * p
(k, p) = 1

Asadar, k si p sunt prime intre ele. De retinut!

Inlocuim:

$\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(d\cdot k)^2+(d\cdot p)^2}{(d\cdot k)(d\cdot p)}=\frac{d^2(k^2+p^2)}{d^2\cdot kp}=\frac{k^2+p^2}{kp} \in N$

[tex]kp \ |\ (k^2+p^2) \rightarrow k \ |\ (k^2 + p^2) \ \ \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}\\\\ k\ |\ k \rightarrow k\ |\ k^2 \ \ \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}\\\\ \ \ \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}- \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}\rightarrow k\ |\ p^2[/tex]
        
Facem acelasi lucru si pentru p, si aflam in final ca:
$k\ |\ p^2\\ p \ |\ k^2$

Unul dintre urmatoarele doua cazuri trebuie sa fie adevarate:
k <= p sau p < k <= p^2 (doar unul din ele)

Daca k <= p si k | p^2, atunci k | p.
Am spus la inceput ca (k, p) = 1, asadar k | p nu este adevarata decat daca k = p = 1 (analizam acest caz la sfarsit). Asadar, ne ramane a doua varianta:

k > p

Analizam la fel pentru p | k^2 , si daca excludem cazul k = p = 1, atunci;

p > k

Nu exista 2 numerele astfel incat p > k si k > p. Asadar, ne ramane de analizat cazul k = p = 1 ==>  m = n = d  ==>  m / n = n / m = 1

{m / n} = {n / m} = 0  ==>  {m / n} + {m / n} =  0 ≠ 1

Asadar, nu exista m, n ∈ N* astfel incat {m / n} + {n / m} = 1