Question

Demonstrati ca oricare ar fi numerele naturale a,b si c , daca b | a si c | a si (b,c) = 1, atunci b · c | a .

Answer 1

Salut ,

Din b | a si c | a rezulta a = b · p si a = c · q (p,q ∈ ℕ) , de unde b · p = c · q. Cum (b,c) = 1, rezulta p = c · r (r ∈ ℕ). Deci, a = (b·c) · r, adica b · c | a.

Answer 2

b|a⇒ a = bx       (1)

c|a ⇒ a = cy       (2)

(1), (2) ⇒ bx = cy  ⇒ y = (bx)/c      (3)

y∈ ℕ și (b, c) = 1        (4)

(3), (4) ⇒  x/c ∈ ℕ ⇒ x = cz    (5)

(1), (5) ⇒ a = bcz ⇒ bc|a