Demonstrați ca oricare ar fi z€C* imaginile geometrice ale numerelor complexe z, iz, i²z si i³z sunt vârfurile unui pătrat
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
da, patrat mi-a dat si mie!dac z∈C*, ca pt z= 0 devine un singur punct!
Explicație pas cu pas:
1=cos0 +isin0⇔(1;0) in Re*Im
i=cos(π/2) +isin(π/2) ⇔(0;1) in Re*Im
i²=-1=cosπ+isinπ⇔(-1;0) in Re*Im
i³=-i=cos(3π/2)+isin(3π/2) in Re*Im
se onbserva ca imaginile geometrice ale numeerelor1.i,-1si i³=-i se afla pe aceaasi raza de modul 1 si au afixele 0,π/2, π si, respectiv 3π/2, deci unghiurile in jurul originii sunt congruente, avand valoare de π/2 si fiind decalate cu π/2, in sens TRIGONOMETRIC, fiecare fata de precedentul. Deci arcele sunt congruente; deci coardele (laturile patrulaterului ) sunt congruente
asadar patrulaterul formatde ele este un patrulater regulat.
patrulaterul regulat se numeste PATRAT.
la inmultirea acestor numere cu numarul complex z∈C, conform formulei lui MOIVRE, modulele numerelor complexe z, iz, i²z si i³z vor fi
|1|*|z|=|z| deci vor fi conciclice
iar arumentele lor ,considerand argumentul redus al lui z ca fiind α
vor fi , tot corespunzator formulei lui Moivre, respectiv
0+α=α
π/2+α
π+α
3π/2+α
(desigir, in functie de α, se poate scadea 2π pt ca α∈[0;2π)
deci decalate tot cu π/2
deci si unghiurile la centru determinate de cele 4 produse de nr complexe sunt congruente, deci patrulaterul este tot REGULAT, deci patrat
deci practic patrulaterul SE ROTESTE si si isi modifica dimensiunile de |z| ori
vezi desen ; prin linia ondulata am inteles 'izomorf"
