Question

Demonstrati ca orice bisectoare exterioara a unui triunghi imparte latura opusa in segmente proportionale cu laturile care formeaza unghiul.

Answer 1

se construeste un tr. oarecare ABC
construim unghiul exterior al unghiului A prin prelungirea segmentului CA, ∡FAB este unghi exterior tr. ABC , F apartine prlungirii CA
ducem bisectoarea unghiului FAB care intersecteaza prelungirea CB in E
din C ducem o paralela la AB care intersecteaza  bisectoarea in D
∡EAB=∡FAE (AE este bisectoarea ∡FAB)
∡ADC=∡EAB (corespondente, AB║CD, ED secanta)
deci:
∡ADC=∡EAB=∡FAE=∡DAC ultimele 2 ung. sunt opuse la varf)
rezulta ∡ADC=∡DAC ⇒ tr. ADC este isoscel ⇒AC=CD
triunghiurile EAB si EDC sunt asemenea (vezi teorema fundamentala a asemanarii), scriem rap. asemanare
EB/EC=AB/CD=ABAC ceea ce se cera in problema
de fapt asta e chiar teorema bisectoarei exterioare