Question

Demonstrați că orice primitivă a funcției f este convexă pe R .f x=x^3+x^2-x+1

Answer 1

Fie F(x)=$\int\limits {f(x)} \, dx +C,$, deriva I F'(x)=f(x), iar deriva a doua F"(x)=3x²+2x-1, are radacinile ecuatiei atasate 3x²+2x-1=0, $x_{1}=-1,si, x_{2}= \frac{1}{3}$, intre radacini F''<0 deci F e concava (pentru x∈(-1,1/3) , si F">0 in afara radacinilor, deci convexa pentru x∈(-∞,-1)∪($\frac{1}{3}$,∞).
Daca f(x)=x³+x²+x+c, c∈R, F''=3x²+2x+1, cu Δ<0 deci derivata a doua e strict pozitiva, de unde primitiva F(x) este o functie convexa pe R