Question

demonstrati ca pentru orice a,b>0 avem: (2+a+b)^n+(2+1/a+1/b)^2 >= 2^2n+1

Answer 1

Răspuns:

Pentru orice a,b>0 avem a+1/a>=2 si b+1/b>=2. Deci 1/a>=2-a, 1/b>=2-b.

Atunci (2+a+b)^n + (2+1/a+1/b)^n >= (2+a+b)^n + (2+2-a+2-b)^n =

= (2+a+b)^n + (6-a-b)^n. (1)

Notam x=a+b si definim f(x)=(2+x)^n + (6-x)^n.

Atunci f'(x)=n(2+x)^{n-1} - n(6-x)^{n-1}.

f'(x)=0 => (2+x)^{n-1}=(6-x)^{n-1} => (pentru ca x>0) => 2+x = 6-x => x=2.

Aratam ca x=2 este punct de minim pentru f.

f'(x)<0 pentru x in (0,2) si f'(x)>0 pentru x in (2,infinit), deci f este descrescatoare pe (0,2] si crescatoare pe [2,infinit).

Deci x=2 este punct de minim local pentru f, deci f(x)>=f(2)=4^n + 4^n = 2^{2n+1} pentru orice x. Din (1), rezulta ca

(2+a+b)^n + (2+1/a+1/b)^n >= 2^{2n+1}.