Question

Demonstrați că pentru orice n∈N, numărul (1/6) * (n^2+3n^2+2n) este număr natural. Dau 20 de puncte.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

n³+3·n²+2n=n·(n²+3n+2)=n·(n²+n+2n+2)=n·(n(n+1)+2(n+1))=n(n+1)(n+2)

Avem un produs de 3 numere naturale consecutive, la sigur unul din ele este par si intre ele exista unul ce se divide cu 3, deci produsul se divide cu 6 si deci (1/6) * (n^3+3n^2+2n) este un numar natural.

Answer 2

$(1/6) * (n^2+3n^2+2n)=\\\frac{n^2+3n^2+2n}6}  =\\= \frac{4n^2+2n}6}  =\\= \frac{2n(2n+1)}6}$

2n(2n+1) este un produs de 2 nr consecutive dintre un nr par 2n si un nr impar 2n+1, deoarece 2n e par se divide prin 2, iar 2n+1 este impar si se divide cu 3 pt orice n ∈ N* => 2n(2n+1) se divide cu 6 => 6 | 2n(2n+1) => 2n(2n+1)/6 este nr natural