Question

Demonstrati ca pentru orice n, nr natural b=2 la puterea( n) + 3 la puterea (n+1) + 5 la puterea (n+2) + 7 la puterea (n+3) nu este patrat perfect.
Va rog o solutie!
Mutumesc!

Answer 1

la probleme de genul arata ca nu e p.p te legi de ultima cifra in general.

un patrat perfect poate avea ultima cifra :

1*1=1       5*5=5             9*9=1
2*2=4       6*6=6
3*3=9       7*7=9
4*4=6          8*8=4 
deci trebuie sa aratam ca ultima cifra a lui b este fie {2,3,7 sau 8}

avem 5 la o putere..5 inmultit cu 5 de ( nu conteaza cate ori) va da mereu ultima cifra 5.

acum ne legam de 2
observi ca 2*2 =4 ,apoi 4*2 =8, apoi 8*2 =16 ....si aici ne oprim avem un numar cu ultima cifra 6 ( care inmultit tot cu el ultima cifra va da mereu 6)
deci vrem sa il scriem pe 2 la o putere a lui 4, totul la alta putere

mergem la 3, iarasi observam 3*3*3*3 =81, adica ultima cifra 1  ,un numar ce are ultima cifra 1 inmultit cu altul cu ultima cifra 1 , da tot un numar cu ultima cifra 1.

deci si pe 3^(n+1) vrem sa il scriem ca (3^4)^o putere
mergem si la 7, iarasi 7*7*7*7 = ......1 (un numar ce are ultima cifra 1)

acum avem nevoie ca n sa il scriem ceva cu 4...

deci avem 4 cazuri, n este de forma 4*k, (4*k+1),(4*k+2),(4*k+3)

o sa iti rezolv doar un caz, restul fiind la fel (asta daca vrei sa intelegi si nu sa dai copy paste )

luam , sa zicem,cazul n=4*k+2     U( ) =ultima cifra ce e in paranteza
=> U (b) =U( 2^(4*k+2) +3^(4*k+2+1) +5 + 7^(4*k+2 +3)) =
              =U ( 16^(k) *2^2 +81^k *3^4 +5 + ...1^(k+1)*7)=
              = U(6*4 +1*27+5+1*7)=U(4+7+5+7)=3 
cand faci ultima cifra a unor produse, sume , te raportezi doar la ultima cifra, de ex U(15*16) =U(5*6)=0      sau U(123-19)=U(23-9) =4

acuma iti ramane sa faci si celelate cazuri pt n=4k,4k+1 si 4k+3
trebuie ca ultima cifra a lui b sa fie 2,3,7 sau 8