Question

Demonstrati ca pentru orice numar natural n numarul (5n+2)(3n+7) este par

Answer 1

Daca n este par, 5n+2 este par si 3n+7 este impar, deci produsul este par
Daca n este impar, 5n+2 este impar si 3n+7 este par, deci produsul este par

Answer 2

Paritatea numărului se discută după paritatea lui n.
Cazul I:
n=par, adică n=2k
Așadar:
(5n+2)(3n+7)=(5*2k+2)(3*2k+7)=(10k+2)(6k+7)=2(5k+1)(6k+7) , deci e divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că e par.
Cazul II:
n=impar, adică n=2k+1
Parantezele devin
(5*(2k+1)+2)(3*(2k+1)+7)=
=(10k+5+2)(6k+3+7)=
=(10k+7)(6k+10)=
=(10k+7)*2*(3k+5) care e divizibil cu 2, deci numărul din enunț e par.

Din cele două cazuri, obținem că numărul (5n+2)(3n+7) e par oricare ar fi n număr natural.