Question

Demonstrati ca pentru orice numar natural n, numarul n³ + 11n este divizibil cu 6.

Answer 1

Prin inductie matematica completa:
n=1  1+11=12 divizibil cu 6
n=2  8+22=30 divizibil si el cu 6
............................................
presupunem adevarat ca n^3+11n divizibil cu 6
V.D.(vom demonstra) ca si pt n+1 se verifica afirmatia, adica:
(n+1)^3 + 11(n+1) va fi divizibil si el cu 6
Avem
n^3 + 3n^2 + 3n +1 +11n+11= n^3 + 11n + 3n^2 + 3n + 12 = M6 +3(n^2 + n +4)
Pentru a avea toata suma divizibila cu 6 trebuie ca si ce avem in paranteza sa fie divizibil cu 2(M6 este deja multiplu de 6, prin presupunerea facuta, apoi am scos un factor comun, pe 3 in fata parantezei).

Inductie din nou:
n=1 1+1+4=6 divizibil cu 6
n=2 4+2+4=10, divizibil si el cu 2
..................
presupunem avevarat faptul ca
n^2 + n + 4 divizibil cu 2 si avem de demonstrat ca este adevarat si pentru n+1, adica
(n+1)^2 +(n+1) + 4 = n^2 +2n + 1 + n + 1 + 4 = n^2 + n + 4 +2(n+1) = M2 +2(n+1), deci si el multiplu de 2 ca fiind suma de doi termeni multiplii de doi.

Deci afirmatia facuta este adevarata, adica n^2 +n +4 este intr-adevar multiplu de 2 si prin urmare si afirmatia facuta anterior ca ....... este multiplu de 6, este si ea adevarata.

QED(Qvot Erat Demonstrandum-latina)

P.S. Am folosit metoda dublei inductii matematice, care se poate aplica destul de des.

Succes in continuare!