Question

demonstrati ca pentru orice numar real a,avem inegaliatea:A^2+1>2A

Answer 1

am sa trec pe 2a in stanga
si rezulta
a^2-2a+1>0
in stanga se observa ca este patrat perfect dupa formula (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a=a si b=1

deci rezulta
(a-1)^2>0
ceea ce e adevarat pentru toate cazutile, cu exceptie cand patratul este egal cu 0, deoarece 0 la patrat =0, in rest inegalitatea este adevarata

si este egalitate pentru a-1=0
a=1

Answer 2

Fie a nenegativ, aplicam inegalitatea mediilor:

$m_a \geq m_g$

$\dfrac{a^2+1}{2} \geq \sqrt{a^2\cdot1} \Longleftrightarrow a^2+1 \geq 2a$