Question

Demonstrati ca,pentru orice numere reale x,y,z au loc inegalitatile:
a)x²+y²≥2xy
b)x²+y²≥-2xy
c)x²+6x≥-9
d)x²+y²+z²≥xy+xz+yz

Answer 1

a)x²+y²≥2xy               ; x²  - 2xy + y² ≥ 0 ;            ( x -y)²  ≥ 0 adevarat 
b)x²+y²≥-2xy             ;     x²  + 2xy + y²  ≥ 0            ( x + y)²  ≥ 0  adevarat 
                                              ∀ x , y ∈ R
c)x²+6x≥-9                 ;      x² + 6x + 9 ≥ 0          ;         ( x +3)² ≥ 0 adevarat 
                                            ∀ x ∈ R
d)x²+y²+z²≥xy+xz+yz    inmultim cu  2 
ex. se dubleaza  :
x²  - 2xy + y²   + x² - 2xz + z²  + y² -2yz + z²  ≥ 0 
          binom          binom          binom 
( x - y)²        +  ( x - z )²          + ( y - z )² ≥ 0    adevarat ∀ x ,y , z ∈ R