Question

Demonstrati ca, pentru orice x, y, z, a, b, c apartin lui R, avem:
(ax+by) totul la patrat <= (a patrat + b patrat)(x patrat+ y patrat)

Answer 1

(ax+by)² <= (a² +b²)·(x² +y²) ;

(ax+by)²=a²x² +2axby +b²y² iar (a² +b²)·(x² +y²)=a²x² +a²y² +b²x² +b²y² => inegalitatea de mai sus este echivalenta cu

a²x² +2axby +b²y² <=a²x² +a²y² +b²x² +b²y² dar deoarece a,b,x,y∈R₊ atunci => a²x² +b²y² >=2axby <=> (ax-by)² >=0 ,care este adevarat pentru orice a,b,x,y∈R₊ =>

(ax+by)² <=(a² +b²)·(x² +y²) .