Question

Demonstrati ca punctele A(1,1) B(3,5) C (9,9) D(7,5), repr varfurile unui paralelogram

Answer 1

2 segmente sunt paralele daca au aceeasi panta m si nu au nici un punct comun. Panta une drepte definite de doua puncte A(a,b) si B(c,d) este
$m=\frac{b-a}{d-c}$
In cazul nostru pentru AB
$m_{AB}=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2$
Pentru segmentul CD
$m_{CD}=\frac{5-9}{7-9}=\frac{-4}{-2}=2$
deci ajungem la concluzia ca
$m_{AB}=m_{CD}$ deci cele doua segmente sunt paralele
Lungimea unui segment AB cu coordonatele A(a,b) si B(c,d) este
$AB=\sqrt{(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}$
In cazul nostru
$AB=\sqrt{(5-1)^{2}+(3-1)^{2}}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$
si pentru CD
$AB=\sqrt{(5-9)^{2}+(7-9)^{2}}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$
Atunci
$AB=CD$
Un patrulater cu 2 laturi opuse paralele si egale este un paralelogram. AB si CD sunt doua segmente opuse si egale intre ele, atunci ABCD este paralelogram.

Answer 2

Daca diagonalele patrulaterului se injumatatesc el este paralelogram, ori coordonatele mijlocului diagonalei AC sunt (5;5) la fel si ale mijlocului diagonalei BD tot (5;5), ele se afla facand media geometrica a coordonatelor capetelor. Deci ABCB este paralelogram.