Question

Demonstrati ca: ra+rb+rc=4R+r

Answer 1

Ne folosim de relatiile

$r_{a}=\frac{S}{p-a}$
$r_{b}=\frac{S}{p-b}$
$r_{c}=\frac{S}{p-c}$
$r=\frac{S}{p}$
unde $p=\frac{a+b+c}{2}$
Le adunam pe primele 3 si o scadem pe ultima. Notam toata aceasta operatie cu X
$r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=X=S(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p})=S(\frac{p-b+p-a}{(p-a)(p-b)}+\frac{p-(p-c)}{p(p-c)})=S(\frac{2p-(a+b)}{(p-a)(p-b)}+\frac{c}{p(p-c)})$
Dar stim ca
$2p=a+b+c\Rightarrow 2p-(a+b)=c$ atunci relatia devine
$X=S(\frac{c}{(p-a)(p-b)}+\frac{c}{p(p-c)})=Sc\frac{p(p-c)+(p-a)(p-b)}{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Dar ne aducem aminte din teorema lui Heron ca
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\Rightarrow S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)$
ne uitam si la partea de sus a fractiei
$p(p-c)+(p-a)(p-b)=p^{2}-pc+p^{2}-p(a+b)+ab=2p^{2}-p(a+b+c)+ab=2p^{2}-p*(2p)+ab=ab$
Deci ecuatia devine
$X=Sc*\frac{ab}{S^{2}}=\frac{abc}{S}$
Dar stim si formula pentru raza cercului circumscris
$R=\frac{abc}{4S}\Rightarrow 4R=\frac{abc}{S}$ din cele doua relatii rezulta ca
$X=4R\Rightarrow r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R\Rightarrow r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r$