Question

Demonstrati ca radical de ordinul 3 din 4 nu apartine Q

Answer 1

presupunem prin absurd ca ∛4∈Q

atunci exista p,q∈N*, (p,q)=1,  asafel incat ∛4=p/q  (definitia numerelor rationale, scrise sub forma de fractie ireductibila)

atunci 4=p³/q³⇔p³=4q³

cum (p,q)=1⇒4|p  si 2|p (1) pt ca 2 este un divizor al lui 4

deci p=4s, s∈N*

atunci

(4s)³=4q³

64s³=4q³

16s³=q³

cum (p,q)=1, si (s,q) =1, pt ca s este undivizor al lui p

deci 16|q³ ⇔4²|q³⇒2^4|q³...⇒2|q (2)

din (1) si (2)⇒p si q admit ca divizor pe 2...contradictie cu ipoteza ca (p.q) =1 (sunt prime intre ele)

deci opoteza noastra, a fost gresita, deci este adevarata contrara ei, si anume ca∛4∈R\Q

c.C.T.D