Question

demonstrati ca radical din 7 este irrational .

​

Answer 1

Răspuns:

prsupunem prin absurd ca radical7 este rational

inseamna ca exista p,q prime intre ele asa fel incat √7=p/q (adica p/q sa fie fractie ireductibila)

atunci, ridicand la patrat, ac vem

7=p²/q²⇔p²=7q² (1)

cum p si q sunt prime intre ele inseamna ca 7|p (2)

adica p poate fi scris p=7r

atunci relatia (1) devine;

49r²=7q² adica

7r²=q²

cum p si q erau prime intre ele, si r care este un divizor al lui p va fi prim cu q

inseamna ca 7 divide pe q

7|q

dar conform (2), 7|p

inseamna ca p si q nu sunt prime intre ele, contradictie cu presupunerea initiala

Deci presupunerea noastra ca exista p si q este falsa

Inseamna ca este adevarata contrara ei, ca NU exista p si q asafel incat √7=p/q

deci √7 nu poate fi scrisca fractie ordinara, deci√7este irational