Question

Demonstrati ca sirul (xₐ) definit prin x₁ = 2 si xₐ = (xₐ₋₁) / 2 + 3/4, a ≥ 2 este convergent si aflati limita acestuia. (a-1 este coeficientul lui x in ecuatie)

Answer 1

Hello, pentru a rezolva acesta ecuatie, incepem prin a gasi formula termenului general, o sa avem nevoie de aceasta pentru a calcula limita.
Nu exista o anumita formula pentru gasirea termenului general, scrim primii 5 termeni si incercam sa gasim o legitate: 2, 7/4, 13/8, 25/16, 49/32. Eu de aici observam ca formula termenului general e: 3/2 + 1/2^n.
Pentru inceput, sa demonstram ca sirul e convergent: demonstram ca e monoton si marginit.
Monotonia:
Xn+1 - Xn = 3/2 + 1/2^(n+1) - 3/2 - 1/2^n = 1/2^(n+1) - 1/2^n = - 1/2^(n+1) => Sirul este strict descrescator => monoton.
Marginirea:
Daca sirul este descrescator => marginea superioara e primul element: 2, iar cea inferioaroara o sa fie 3/2, deoarece observam cum sirul tinde spre aceasta valoare.
Sirul este strict descrescator => limita va fi marginea inferioara => 3/2.
Acum putem demonstra asta si prin limita:
n -> infinit.
lim(3/2 + 1/2^n) = lim(3/2) + lim(1/2^n) = 3/2 + 0 = 3/2.

Daca ceva nu intelegi, scrie in comentarii, mult noroc!