Question

Demonstrati ca suma cuburilor a trei numere consecutive se divide cu 9

Answer 1

Hello, fie primul numar: a.
a³ + (a + 1)³ + (a + 2)³, trebuie sa demonstram ca aceasta expresie se divide cu 9, incepem prin a ridica la cub: a³ + a³ + 1 + 3*a² + 3*a + a³ + 8 + 6*a² + 12*a = 3*a³ + 9*a² + 15*a + 9, 9*a² + 9 se divide cu 9, deci ne ramine sa demonstram ca 3*a³ + 15*a se divide cu 9 => 3*(a³ + 5*a) => a³ + 5*a trebuie sa se divida cu 3.
a*(a² + 5), acum trebuie sa demonstram ca sau a se divide cu 3, sau a² + 5.
Daca a se divide cu 3, nu trebuie sa demonstram nimic, daca nu se divide atunci: a² + 5 trebuie sa se divida.
Daca a nu se divide cu 3, a poate fi scris ca: a = k + 1 sau a = k + 2, unde k este un numar ce divide 3(daca nu stii de ce, scrie in comentarii, voi explica), acum inlocuim in expresie:
(k + 1)² + 5 = k² + 2*k + 6 = k*(k + 2) + 6, 6 se divide cu 3, iar k*(k + 2) - deasemenea.
(k + 2)² + 5 = k*(k + 4) + 9, 9 se divide cu 3, iar k*(k + 4) - deasemenea.

Putem demonstra si prin metoda inductiei:
Fie a = 1 => 1³ + 2³ + 3³ = 36, deci satisface conditia.
Presupunem ca a = k, si k³ + (k + 1)³ + (k + 2)³ se divide cu 9.
Acum inlocuim k + 1, in loc de k, obtinem: (k + 1)³ + (k + 2)³ + (k + 3)³ = k³ + (k + 1)³ + (k + 2)³ + (k + 1)³ - k³, observam ca noi am presupus ca k³ + (k + 1)³ + (k + 2)³ se divide cu 9, demonstram ca (k + 3)³ - k³ se divide cu 9.
(k + 3)³ - k³ = 27 + 9*k*(k + 1) = 9*k² + 9*k + 27 = 9*(k² + k + 3) => Se divide cu 9.
Daca ai intrebari, adreseaza-le in comentarii, daca mai doresti si alte metode, nici o problema, doar spune.