Question

Demonstrati ca:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab+ac+bc$ a,b,c ∈ R

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ a,b ∈ R+

$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq 6$ a,b,c ∈ R+

Va rog mult daca sa poate sa si explicati.

Answer 1

Salut,

Dacă înmulţeşti prima inegalitate cu 2 şi dacă vei trece 2ab+2ac+2bc în partea stângă, vei obţine (a-b)²+(b-c)²+(c-a)², care este mai mare sau egal cu zero.

La a doua cerinţă aplică inegalitatea dintre media aritmetică şi cea geometrică, pentru numerele pozitive a/b şi b/a.

La a treia inegalitate, din cele 3 fracţii, creează 6 fracţii, după care aplici de 3 ori a doua inegalitate din enunţul scris de tine, şi le aduni membru cu membru.

Simplu, nu ?

Green eyes.