Question

Demonstrati că $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27} +...+\frac{1}{3^{n} }\ \textless \ \frac{1}{2}$ pentru $n\geq 1$ prin inductie matematică.

Answer 1

Salut,

Cred că enunțul are o problemă, uite de ce:

Pk presupusă adevărată este așa: 1/3 + 1/9 +...+ 1/3^k < 1/2.

Dacă adunăm la această inegalitate 1/3^(k+1) în ideea de a încerca să demonstrăm că Pk+1 este adevărată, atunci obținem:

1/3 + 1/9 +...+ 1/3^k + 1/3^(k+1) < 1/2 + 1/3^(k+1), dar membrul drept este mai mare decât 1/2, contradicție.

Deci enunțul este greșit. Uite de ce nu îți ieșea rezolvarea.

Sau altfel: 1/2 + 1/3^(k+1) < 1/2, asta e de demonstrat, deci 1/3^(k+1) < 0 ceea este fals, o funcție exponențială NU poate lua valori negative. Bingo !

Green eyes.