Question

Demonstrati ca $\frac{2a}{16a ^{4}+3 } \leq \frac{1}{4} , oricare .ar .fi ."a". apartine .lui .R$

Answer 1

2a  / ( 16a⁴ + 3)      - 1 / 4   ≤ 0 
( 8a - 16a⁴  - 3 )  / 4 · ( 16a⁴  + 3) ≤ 0 
                                numitorul  4 · ( 16a⁴ + 3) = produs de numere pozitive  
                                            a⁴ ≥ 0  , ∀ a∈ R 
atunci  numaratorul    8a - 16a⁴ - 3 ≤ 0 
                        sau    16a⁴   - 8a + 3  ≥ 0 
                   formam binoame  : 
( 4a² )²   - 8a² + 1    +  8a²  - 1  -8a + 3 ≥ 0 
        (    4a²   -   1)²    +  8a²  - 8a  + 2  ≥ 0 
             ( 4a² -  1)²      + 2 · ( 4a²  - 4a + 1) ≥ 0 
              ( 4a²  - 1)²  + 2 · ( 2a -1) ² ≥ 0  , adevarat ∀ a∈ R
                             suma de patrate