Question

Demonstrați că:

$\it (a+b)(ab+1)+(b+c)(bc+1)+(c+a)(ca+1)\geq4(ab+bc+ca),\\ \\ \forall a,b,c\in(0,\ \infty)$

Mulțumesc!!!

Answer 1

Salut,

Aplicăm inegalitatea dintre media aritmetică și cea geometrică, de două ori:

- prima oară pentru a și b:

$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{a\cdot b}\Rightarrow a+b\geqslant 2\cdot\sqrt{a\cdot b}\ (1).$

- a doua oară pentru ab și 1:

$\dfrac{ab+1}{2}\geqslant\sqrt{ab\cdot 1}\Rightarrow ab+1\geqslant 2\cdot\sqrt{a\cdot b}\ (2).$

Dacă înmulțim membru cu membru inegalitățile (1) și (2), avem că:

$(a+b)(ab+1)\geqslant 4\cdot a\cdot b\ (3)$

Procedăm similar pentru perechile de numere b și c, apoi separat pentru c și a, adunăm membru cu membru inegalitățile similare inegalității (3) și vom obține exact inegalitatea din enunț.

Green eyes.