Question

Demonstrati ca $\sqrt{7n+3}$ nu apartine lui Q, oricare ar fi n apartinand N

Answer 1

Deci,√7n+3 ∈ Q <=> 7n+3=p²,unde p ∈ Q
=>7n+3=p²
=> p²-7n-3=0 /*p
=> p*p²-7np-3p=0 // o luam ca ecuatie de gradul II,unde a=p,b=-7n,c=-3p
Δ=(-7n)²-4p(-3p)
Δ=49n²+12p²
Δ=49n²+12(7n+3)
Δ=49n²+84n+36
pentru ca ecuatia sa fie de forma (a+b)²,adica sa aiba o singura solutie,trebuie ca Δ=0   (n∈N)
49n²≥0 , 84n ≥0,∨ n ∈ N 36>0
=> Δ≠0 => ecuatia nu are o singura solutie => 7n+3 -nu e pp
=> √7n+3 ∉ Q