Question

Demonstrati că $\sqrt{\underbrace{111...11}}$ este număr irațional.

Answer 1

presupunem prin absurd ca exista p si q, asa fel incat √11...1=p/q, p,q∈N si (p,q)=1
atunci 111...1=p²/q²
111..1 q²=p²
cum (p,q)=1⇒111...11|p  (1)
deci  p=111...11s=
111...11q²=111..11²s² |simpl;ificam cu 111...1
q²=111...11s²
cum (q,p)=1 si (q,s)=1 atunci 11...11|q  (2)

din (1) si (2)⇒p si q admit divizor comun pe 111...11≠1, deci nu sunt primi intre ei, contradictie cu conditia impusa
deci presupunerea a fost gresita
deci nu exista p si q
deci √11...1 este irational


P.S.. M-am luat dupa "celebra " demonstratie pt √2 ,  se arate ca sunt irationale; manual Radu si Radu, clasa a 7-a