Question

Demonstrați că următoarele numere nu sunt raționale:

Nu trebuie sa explicati in detaliu, doar destul incat sa pot scrie pe caiet rezolvarea :)
Multumesc!​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Ar trebui sa demonsrtrezi ca numerele de sub radical nu sunt patrate perfecte.

Patratele perfecte se termina doar in 0, 1. 4, 5, 6, 9

a)

5n se termina in 0 sau 5

deci 5n + 3 se termina in 3 sau 8, deci nu este patrat perfect

b)

5n se termina in 0 sau 5

deci 5n + 8 se termina in 8 sau 3, deci nu este patrat perfect

d)

n^2 + n = n*(n + 1) este produs de doua numere consecutive, nu este patrat perfect

h)

1*2*3*4*..*10*...*2011 se termina in 0

deci 1*2*3*4*..*10*...*2011 + 3 se termina in 3, deci nu este patrat perfect

i)

6 la orice putere se termina in 6

1 la orice putere se termina in 1

5 la orice putere se termina in 5

456^564 se termina in 6

321^312 se termina in 1

215^804 se termina in 5

456^564 + 321^312 + 215^804 se termina in cat se termina 6 + 1 + 5, deci in 2, deci nu este patrat perfect

f)

2006^2010 se termina in 6

7^1 se termina in 7

7^2 se termina in 9

7^3 se termina in 3

7^4 se termina in 1

7^5 se termina in 7

ultima cifra a puterilor lui 7 se repeta din 4 in 4

2010 : 4 = 502 rest 2

ultima cifra a lui 2007^2010 este 9

2007^2010 - 2006^2010 se termin in cat se termina 9 - 6 deci in 3, deci nu este patrat perfect

g)

S = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^2010

3S = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2011

3S - S = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2011 - 1 - 3 - 3^2 - ... - 3^2010

2S = 3^2011 - 1

3^1 se termina in 3

3^2 se termina in 9

3^3 se termina in 7

3^4 se termina in 1

3^5 se termina in 3

ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta din 4 in 4

2011 : 4 = 502 rest 3

3^2011 se termina in 7

3^2011 - 1 se termina in 6

2S se termina in 6

S se termina in 3, deci nu este patrat perfect