Question

Demonstrați că vectorii u=ai+(a+1)j și v=(a+1)i-aj sunt perpendiculari,oricare ar fi numărul real a.

Answer 1

[tex]\text{Doi vectori sunt perpendiculari,daca cosinusul unghiului dintre ei }\\ \text{este egal cu 0.Daca avem vectorii:} \overrightarrow{v_1}=a_1\cdot \overrightarrow{i}+b_1\cdot \overrightarrow{j} \text{si } \\ \overrightarrow{v_2}=a_2\cdot \overrightarrow{i}+b_2\cdot \overrightarrow{j},\text{atunci cosinusul este :}\\ \boxed{\cos{(\widehat{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}})}=\dfrac{a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}}\\ [/tex]
[tex]\text{Deoarece numitorul este mai mare ca 0,ramane sa verificam daca:}\\ a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2=0\\ \text{In cazul nostru:}\\ a\cdot (a+1)-a\cdot (a+1)=0,\text{ceea ce e adevarat}\\ \text{Deci cei doi vectroi sunt perpendiculari.}[/tex]